数字电子笔记

教材：北京工业大学出版社 - 数字电子技术基础

第一章 绪论

1.数制

基数：满多少进一，基数就是多少

位权：某一位代表的数值

表示形式：
例如十进制： $(N)_{10} = \sum k_{i} \times10^{i}$
二进制：$(N)_{2} = \sum k_{i} \times2^{i}$

数制转换：十进制与二进制无需多言，二进制与十六进制（八进制）用4位一分组（3位）

2.二进制

原码：在二进制数字前面加上一个符号位，0表示正数，1表示负数。如：

$$ A = (+1011)_2 , (A)_原 = (0\ 1011)_2 $$

反码：与原码相反，0表示负数，1表示正数。如：

$$ A = (+1011)_2 , (A)_反 = (1\ 1011)_2 $$

​ 规则一：两数和的反码等于两数反码之和

​ 规则二：符号位参与运算，有进位时循环相加

补码：符号为同原码，如果是正数数值位一致，如果是负数数值位取相反。如：

$$ A = (+1011)_2 , (A)_补 = (0\ 1011)_2 $$

$$ B = (-1011)_2 , (B)_补 = (1\ 0100)_2 $$

补码运算

即计算$ M-N $较难，那么可以计算$ M+(-N) $，如：

$$ \begin{align} (86)_{10} -(74)_{10} & = (1010110)_2-(1001010)_2 \\ & = (+1010110)_2+(-1001010)_2 \\ & = (01010110)_补+(10110101)_2 \\ & = [1](00001100)_补 \\ & = (00001100)_原 = (+12)_{10} \end{align} $$

注意：补码表示的数有位数限制，如4位数补码，最多可以表示$ \left((-2)^3,2^3\right) $，即$\left(-8,8\right)$，不够时应该添加一位，补0。

3.常用编码

二-十进制码，又称BCD码，通常分为有权码和无权码，如下图：

如何用BCD码表示十进制？

$$ \begin{align} (975)_{10} &= (1001\ 0111\ 0101)_{8421码}\\ (975)_{10} &= (1111\ 1101\ 1011)_{2421码}\\ (975)_{10} &= (1100\ 1010\ 1000)_{5421码}\\ (975)_{10} &= (1100\ 1010\ 1000)_{余3码} \end{align} $$

第二章 逻辑代数基础

1. 三种基本逻辑运算

"逻辑与"运算：$Y=A\cdot B=AB$ 表示同时满足A与B，Y才满足。

"逻辑或"运算：$Y = A+B$ 表示只要AB中任意一个满足，Y就满足，AB同时不满足，Y才不满足。

"逻辑非"运算：$Y = \bar{A}$ 表示A具备Y就不满足，A不具备Y才满足。

同时有复合逻辑运算如与非、或非、与或非、异或、同或。

异或运算：$Y = A\bigoplus B = \bar{A}B+A\bar{B}$，即当AB相同时输出0，AB不同时输出1。

同或运算：$Y = A\bigodot B = AB+\bar{A}\bar{B}$ ，即当AB不同时输出0，AB相同时输出1。

2.逻辑运算公式

交换律、结合律，与加法乘法类似

分配律：

$$ A+(B\cdot C) = (A+B)\cdot (A+C)\\ A\cdot(B+C) = A\cdot B+A\cdot C $$

0-1律：

$$ A\cdot 1=A ,\ A\cdot 0=0\\ A+ 1=1 ,\ A+ 0=A\\ $$

互补律：

$$ A+\bar{A}=1,A\cdot \bar{A}=0 $$

重叠律：

$$ A+A = A,\ A\cdot A = A $$

还原律：

$$ \bar{\bar{A}}=A $$

反演律（德·摩根定律）：

$$ \overline{A+B} = \bar{A}\cdot\bar{B}, \ \overline{A\cdot B} = \bar{A}+\bar{B} $$

还有一些通过上面的基本公式推导出的常用公式

吸收律：

$$ \begin{align} A+AB&=A\\ A+\bar{A}B &=A+B \end{align} $$

冗余律：

$$ AB+\bar{A}C+BC = AB+\bar{A}C\\ \begin{align} 证明：LHS&=AB+\bar{A}C+(A+\bar{A})BC\\ &=AB+\bar{A}C+ABC+\bar{A}BC\\ &=AB(1+C)+\bar{A}C(B+1)\\ &=AB+\bar{A}C=RHS \end{align} $$

3.重要定理

代入定理：扩展公式的范围，若等号两边同时出现A逻辑，可以将所有A替换为逻辑函数F，等式依旧成立

反演定理：将式Y中所有·变为+，+变为·，0变为1，1变为0，原变量别为反变量，反变量变为原变量。Y变为$\bar{Y}$.

$$ 如F = A+\overline{B+\bar{C}\cdot \overline{D+\bar{E}}},求\bar{F}.\\ 则\bar{F} = A \cdot \overline{\bar{B} \cdot (C + \overline{\bar{D}\cdot E)}} $$

对偶定理：将式Y中所有·变为+，+变为·，0变为1，1变为0，原运算优先级不变，得到对偶式Y'，如果F = G，则F' = G'

$$ 试证(A+B)(\bar{A}+C)(B+C) = (A+B)(\bar{A}+C)\\ 证明：根据对偶定理，即证明AB+\bar{A}C+BC = AB+\bar{A}C\\ 基本公式可以证出. $$

4.逻辑函数

最小项：乘积项，包含了全部输入变量，每个变量都以原变量$A_i$或者反变量$\bar{A_i}$出现，且只出现一次。

标准最小项之和的形式：

$$ F(A,B,C) = \bar{A}B+BC+A\bar{B}\bar{C}\ =\bar{A}B\bar{C}+\bar{A}BC+A\bar{B}\bar{C}+ABC\\ =m_2+m_3+m_4+m_7\\ =\sum{m(2,3,4,7)} $$

最大项：和项，包含了全部输入变量，每个变量都以原变量$A_i$或者反变量$\bar{A_i}$出现，且只出现一次。

标准最大项表示的形式：

$$ 例题：F(A,B,C) = A(\bar{B}+C)的最大项表示式子\\ \begin{align} 原 &=(A+B\bar{B}+C\bar{C})(A\bar{A}+\bar{B}+C)\\ &=(A+B\bar{B}+C)(A+B\bar{B}+\bar{C})(A+\bar{B}+C)(\bar{A}+\bar{B}+C)\\ &=(A+B+C)(A+\bar{B}+C)(A+B+\bar{C})(A+\bar{B}+\bar{C})(A+\bar{B}+C)(\bar{A}+\bar{B}+C)\\ &=(A+B+C)(A+\bar{B}+C)(A+B+\bar{C})(A+\bar{B}+\bar{C})(\bar{A}+\bar{B}+C)\\ &=M_0M_1M_2M_3M_6\\ &=\prod{M(0,1,2,3,6)} \end{align} $$

结论：如果给定函数$Y = \sum{m_i} \Rightarrow \bar{Y} = \sum_{k\neq{i}}{m_k} \Rightarrow Y=\overline{\sum_{k\neq{i}}m_k}$

例如$F = \sum{m(2,3,4,7)} = \prod{M(0,1,5,6)}$

5.逻辑函数的最简表达式

最简与或式：乘积项最少，每个乘积项中包含的变量数最少

最简或与式：相加项最少，每个相加项中包含的变量数最少

化简方法

并项法：$AB+\bar{A}\bar{B} = A$

吸收法：$A+AB = A$

消项法：$AB+\bar{A}C+BC = AB+\bar{A}C$

消因子法：$A+\bar{A}B = A+B$

配项法：利用$A+\bar{A} = 1,\ AB+\bar{A}C = AB+\bar{A}C+BC$

$$ 化简 Y = A\bar{B}+B\bar{C}+\bar{B}C+\bar{A}B\\ \begin{align} Y &= A\bar{B}+B\bar{C}+A\bar{C}+\bar{B}C+\bar{A}B+\bar{A}C\\ &= A\bar{B}+\bar{A}B+A\bar{A}+B\bar{C}+\bar{B}C+\bar{B}B+A\bar{C}+\bar{A}C+\bar{C}C\\ &= (A+B+C)(\bar{A}+\bar{B}+\bar{C}) \end{align} $$

6.卡诺图

将逻辑函数式转换为卡诺图，对应位置填1,其余位置填0

例如$F(A,B,C)=\sum(1,3)$，有：

第四章 组合逻辑电路

基本

组合逻辑电路：输出仅仅决定于该时刻的输入，没有存储功能，只有门电路

时序逻辑电路

加法器

1位全加器：将两个二进制数和来自低位的进位3个数相加

A、B — 被加数、加数

CI — 来自低位的进位输入

S — 全加和

CO — 向高位的进位输出

$$ S = (A\oplus B)\oplus CI \\ CO = \overline{\overline{AB}\cdot\overline{(A\oplus B)\cdot CI}}=AB+(A\oplus B)CI $$

多位串行进位加法器：依次将低位全加器的进位输出端 CO 接到高位全加器的进位输入端 CI，即可构成多位加法器。

每一位的相加结果都必须等到低一位的进位输出产生以后才能建立，故称为串行进位加法器。

超前进位加法器：提前计算出各位的进位输出值，使每位同时求和。

速度快，但结构复杂，且每一位结构都不同，不容易扩展

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