复变函数笔记
第一章 复数与复变函数
1. 复数
$$ z = x+\imath y $$
$$ 实部\ x = Re(z) , 虚部\ y = Im(z) $$
复数的商：
$$ \begin{align} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{(x_1+\imath y)(x_2-\imath y_2)}{(x_2+\imath y_2)(x_2-\imath y_2)}\\ & = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+\imath \frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2} \end{align} $$
共轭复数：实部相同，虚部绝对值相等符号相反的两个复数。与z共轭的复数记作$ \bar{z} $.
共轭复数的性质：
$$ \begin{align} i)& \overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2},\ \overline{z_1z_2} = \bar{z_1}\bar{z_2},\ \overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}};\\ ii)& \bar{\bar{z}} = z;\\ iii)& z\bar{z}=[Re(z)]^2+[Im(z)]^2;\\ iv)& z+\bar{z} = 2Re(z),\ z-\bar{z} = 2\imath Im(z). \end{align} $$
2.复数的几何意义
点的表示：$ z = x + \imath y $ 对应点P $ (x,y) $
向量的表示：$ z = x + \imath y $ 对应向量 $ (x,y) $，用向量$ \overrightarrow{OP} $ 表示
i.复平面
辐角：表示以正实轴为始边，以z的向量$ \overrightarrow{OP} $为终边的角的弧度数 $\theta$
$$ Arg\it z = \theta $$
有
$$ \tan(Arg\it z) = \frac{y}{x} $$
辐射主值 $\theta_0=\arg{z}$，$\theta_0$ 满足 $-\pi<\theta_0\leq\pi$
$$ \arg{z}(z\neq0) = \begin{cases} \arctan{\frac{y}{x}},& x>0\\ \pm \frac{\pi}{2},& x=0,y\neq0\\ \arctan{\frac{y}{x}\pm\pi},& x<0,y\neq0,\text{(第二象限+，第四象限-)}\\ \pi,&x<0,y=0\\ \end{cases}\\ 其中-\frac{\pi}{2}<\arctan{\frac{y}{x}}<\frac{\pi}{2}. $$
注意：这里不要背公式，把复平面画出来看一下就能知道。
三角表示
$$ x = r\cos{\theta},\ y = r\sin{\theta}.\\ z = r(\cos{\theta}+\imath\sin{\theta}). $$
指数表示
由欧拉公式：
$$ e^{\imath\theta} = \cos{\theta}+\imath\sin{\theta} $$
得：
$$ z = re^{\imath\theta} $$
几何意义：复平面中向量的加减法
ii.复球面
存在任意复数$z$，在平面XOY中对应一点z，与XOY相切的球体，切点为S(O)南极，N北极，连接Nz，与球面交点为P，那么平面上所有点都可以找到球面上的一点P与之对应。我们把无穷远点在内的复平面称为扩充复平面，（含有北极N）；不包含无穷远点的称为有限平面，或称为复平面。对于这个无穷远点，即复数$\infty$来说，只有模$|\infty| = +\infty$.
3.复数的乘积与商
i. 乘积与商
使用三角式更为方便
$$ z_1 = r_1(\cos{\theta_1}+\imath\sin{\theta_1}), \ z_2 = r_2(\cos{\theta_2}+\imath\sin{\theta_2}) $$
则可用乘法定义来计算
$$ Z_1 \cdot Z_2 = r_1r_2[\cos{(\theta_1+\theta_2)}+\imath\sin{(\theta_1+\theta_2)}] $$
故定理一
$$ |z_1z_2| = |z_1||z_2|\\ Arg(z_1z_2) = Argz_1+Argz_2 $$
若用指数形式表示：
$$ z_1 = r_1e^{\imath \theta_1},\ z_2 = r_2e^{\imath \theta_2}. $$
有
$$ z_1z_2 = r_1r_2e^{\imath(\theta_1+\theta_2)} $$
当$z_1 \neq 0$时，有定理二
$$ |\frac{z_2}{z_1}| = \frac{|z_2|}{|z_1|}\\ Arg(\frac{z_2}{z_1}) = Argz_2-Argz_1 $$
ii. 幂与根
复数的幂
$$ z^n = \underbrace{z\cdot z\cdots z}_{n\text{个}} $$
有
$$ z^n = r^n(\cos{n\theta}+\imath\sin{n\theta}) $$
复数的根
如果$w^n = z$，则称$w = \sqrt[n]{z}$ ，由于三角函数的周期性，$w$不止一种
设$w = \rho(cosn\phi + isinn\phi)$，$z = r(cos\theta = isin\theta)$
有
$$ \rho^n(\cos{n\phi}+i\sin{n\phi}) = r(cos\theta+isin\theta)\\ 得 \rho^n = r,\ \cos{n\phi} = cos\theta,\ \sin{n\phi} = sin\theta $$
即
$$ \rho = r^{\frac{1}{n}},\ \phi = \frac{\theta+2k\pi}{n}\\ w_k = \sqrt[n]z = r^{\frac{1}{n}}\left(\cos{\frac{\theta+2k\pi}{n}+\imath\sin{\frac{\theta+2k\pi}{n}}}\right) $$
将$k = 0,1,2,\cdots,n-1$带入，得到n个不同的根，从而求出$w_0,w_1,\cdots,w_{n-1}$
$$ 例： (1-i)^{\frac{1}{3}}\\ \begin{align} w_0 &= \sqrt[3]2(cos\frac{7}{12}\pi+isin\frac{7}{12}\pi)\\ w_1 &= \sqrt[3]2(cos\frac{5}{4}\pi+isin\frac{5}{4}\pi)\\ w_2 &= \sqrt[3]2(cos\frac{23}{12}\pi+isin\frac{23}{12}\pi) \end{align} $$
4.区域
i. 区域的概念
邻域：$z_0$是一个定点，以$z_0$为中心，$\delta(\delta>0)$为半径所画圆内所确定的点集(不包含$z_0$和边界)是$z_0$的去心邻域
内点：存在区域$G$，如果有一个点$z$，$z$的邻域中存在一点在$G$中，则称$z$为$G$的一个内点
外点：存在区域$G$，有一点$z$，如果存在$\rho>0$，使得$z$的邻域中全部的点都不在$G$上，那么这个点是$G$的外点
边界点：对于$z$的任意邻域，都同时有不属于$G$和属于$G$的点，那么称$z$是$G$的边界点
区域：连通的开集（不包含边界）被成为区域$D$
闭区域：区域+边界，记作$\bar{D}$
有界的：对于集合G，存在M>0，对于任意$z\in G$都有|z|<M
ii.单连通域和多连通域
没有重点的曲线叫做简单曲线
闭曲线：起点和终点重合
5.复变函数
定义 $w = f(z) = u(x,y)+\imath v(x,y)$
$$ 例：f(z) = x\left(1+\frac{1}{x^2+y^2}\right)+iy\left(1-\frac{1}{x^2+y^2}\right)，将f(z)表示为z的函数.\\ z = x+iy, \bar{z} = x-iy\\ 有x^2+y^2 = |z|^2 = z\cdot\bar{z},代入得到：\\ \begin{align} f(z) &= \frac{z+\bar{z}}{2}(1+\frac{1}{|z|^2})+\frac{z-\bar{z}}{2}(1-\frac{1}{|z|^2})\\ &=z+\frac{\bar{z}}{|z|^2} \end{align} $$
6.复变函数的极限和连续性
定理一 设$f(z) = u(x,y)+iv(x,y), A = u_0+iv_0,z_0 = x_0+iy_0，那么\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(z)}=A的充要条件是$
$$ \displaystyle \lim_{x \to x_0}^{y \to y_0}{u(x,y)} = u_0, \displaystyle \lim_{x \to x_0}^{y \to y_0}{v(x,y)} = v_0 $$
连续性$\Rightarrow$如果$\displaystyle{\lim_{x \to x_0}{f(z)}} = f(z_0)，那么在z_0点处连续$
第二章 解析函数
1.什么是解析函数？
前提概念：导数，可导与连续，求导法则，微分
解析函数：如果f(z)在$z_0$及其邻域内处处可导，称为f(z)在$z_0$解析，如果在区域D内每一点都解析，那么称f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的一个解析函数
奇点：如果f(z)在$z_0$不解析，那么$z_0$称为f(z)的奇点
